H. Poincaré s-a orientat cu deosebire spre studiul ecuaţiilor diferenţiale, teoria generală a funcţiilor, algebră şi aritmetică, fizică, matematică şi mecanică celestă. Dintre contribuţiile sale mai amintim introducerea în literatura de specialitate a invariantelor aritmetice, integrarea ecuaţiilor diferenţiale lineare coeficienţilor algebrici, stabilirea unor raporturi între noile funcţii şi teoria numerelor, el fiind şi cel care a pus bazele topologiei combinatorii. În domeniul fizicii matematice, s-a preocupat de teoria elasticităţii, opticii, electricităţii, termodinamicii. Din 1866, s-a dedicat studiului mecanicii cereşti, elaborând lucrarea „Probléme des trois corps”, distinsă, în 1889 cu premiul instituit de regele Suediei. Recunoaşterea meritelor sale ştiinţifice este pusă în evidenţă de alegerea ca membru al Academiei Franceze de Ştiinţe (1887), al academiilor de ştiinţe din Berlin, Dublin, Göteborg, Londra, München, Nancy, Paris, Stockholm, Viena, Washington.  În 1909 A fost ales membru de onoare din străinătate al Academiei Române. 

La împlinirea a 150 de ani de la naşterea lui Henri Poincare,  în aula Academiei Române, s-a desfăşurat o sesiune omagială, organizată de Secţia de Ştiinţe Matematice a Academiei Române. După cuvântul de deschidere rostit de acad. Romulus Critescu, preşedintele Secţiei de Ştiinţe matematice au susţinut comunicări E.S. Philippe Ètienne, ambasador extraordinar şi plenipotenţiar al Republicii Franceze în România - „Henri Poincaré, le prècurseur”; acad. Solomon Marcus - „Ipoteză şi demonstraţie la Poincaré”; Basarab Nicolescu - „Poincaré şi imaginaţia ştiinţifică”; Jean Eisenstaedt - „Poincaré şi teoria relativităţii” şi Magda Stavinschi - „Toujours Poincarè”.

Savantul 

Viaţa atât de scurtă a lui Henri Poincaré (a trăit doar 58 de ani) se confundă aproape cu opera sa de o vastitate impresionantă. Pornind de la această idee, acad. Solomon Marcus, căruia îi mulţumim pentru ajutorul dat, a înfăţişat pe larg anii de copilărie şi adolescenţă. Am aflat, astfel, că în ciuda constituţiei sale firave, Henri avea preocupări multiple (a scris o dramă despre Jeanne d’Arc), şi-a luat un bacalaureat în literatură şi unul în ştiinţe. La numai 24 de ani îşi susţinea doctoratul cu o teză despre teoria ecuaţiilor cu derivate parţiale. A ţinut cursuri de fizică matematică, electricitate, termodinamică, optică, teoria turburenţei şi de probabilităţi la Universitatea din Paris. „Pasiunea lui Henri Poincaré a fost mecanica cerească, modul în care mişcarea fiecărei planete este influenţată de atracţia dintre ea şi celelalte planete, precum şi de atracţia soarelui. Întrebarea fundamentală se referă la stabilitatea sistemului solar. După ce în secolele XVII, XVIII şi XIX, cercetările pledau pentru stabilitatea sistemului solar, iar, la noi, Spiru Haret a identificat un factor de instabilitate, problema rămăsese deschisă. Poincaré, constatând că sistemul de ecuaţii de care depinde rezolvarea problemei nu poate fi investigat cu succes prin metode clasice, cantitative, introduce un nou punct de vedere, calitativ: dacă o ecuaţie nu poate fi rezolvată, atunci să încercăm să privim proprietăţile soluţiei chiar pe forma ecuaţiei. Tot din această tentativă va extrage şi substanţa altor teorii, la interferenţa analizei, algebrei, geometriei şi topologiei.”

Basarab Nicolescu a pornit descoperirea funcţiilor fuchsiene, pentru a ilustra rolul imaginaţiei în ştiinţă, aceea „iluminare subită” de care povesteşte savantul fiind, în esenţă, rodul unei îndelungate munci până acolo  unde „logica obişnuită, asociativă şi punctuală poate să ajute manifestarea logicii non-asociative şi punctuale.” În termenii concepţiei lui Ştefan Lupaşcu, se poate spune că „Imaginarul şi realul se completează unul pe celălalt, într-o relaţie contradictorie fecundă”, relevând „o realitate mai profundă decât aceea accesibilă organelor de simţ.” În acest moment, „ceea ce este activ, devine pasiv şi ceea ce este pasiv devine activ.” De aici o interesantă explicaţie psihologică despre „eul subliminal”, despre înţelegerea realităţii imaginarului. Considerat ca unul dintre cei patru sau cinci mari matematicieni ai tuturor timpurilor, H. Poncarè rămâne, cum a spus Umberto Bottazzini, „un geniu al matematicii, care a devansat timpul său şi care mai surprinde şi astăzi prin modernitatea ideilor sale.”

Evocând personalitatea complexă a lui Poincare, Jean Eisendtaedt a insistat asupra unei posibile relaţii între opera sa ştiinţifică şi filosofică şi teoria relativităţii a lui Einstein, care recunoştea, în 1906, că „această ipoteză (E=m.c²) este esenţial cuprinsă într-o lucrare a lui H. Poincaré, dar pentru mai multă claritate, nu m-am bizuit pe această lucrare.” Era vorba de articolul lui Poincarè „La thèorie de Lorentz et le principe de la réaction”, apărut în anul 1900. Nu se poate spune însă că Poincaré a fost părintele teoriei relativităţii restrânse, dar ideile sale l-au influenţat pe Einstein. 

Filosoful şi Omul

Henri Poincaré este important şi ca filosof, deşi, cum apreciază acad. Solomon Marcus, „Poincaré matematicianul nu l-a urmat totdeauna pe Poincarè filosoful.” Dintre lucrările lui menţionăm „Science et mèthode” şi „La valeure de la science”. Cum afirma acad. Solomon Marcus, H. Poincaré a distins trei tipuri de ipoteze „cele care pot fi confirmate de experienţă, devenind astfel adevăruri fecunde, cele care, fără a ajunge să ne inducă în eroare, pot fi utile, fixându-ne ideile şi cele care sunt numai în aparenţă ipoteze, fiind de fapt definiţii sau convenţii.” Cele din urmă sunt deosebit de importante în matematică. Acad. Solomon Marcus a accentuat legătura strânsă între ideile lui Poincaré relative la  ipoteză şi cele ale lui C. S Peirce privind inducţia, deducţia şi abducţia. „Ideile lui Poincare au avut un impact puternic şi în România. Haret, Coculescu, Pompeiu, Ţiţeica, Lalescu, Const. Popovici, Florin Vasilescu, Barbilian, Onicescu, Sergescu, Iacob, Lazăr Dragoş, Aristide Halanay, V. Poenaru, Al. Dimca sunt numai o parte a celor care, într-un fel sau altul, au intrat în raza de acţiune a lui Poincaré. Savantul a fost dublat de scriitor, fiind ales membru  al Secţiei Literare a Institutului Franţei. Încă în 1913, T.Lalescu a publicat în Convorbiri literare un articol despre personalitatea artistică a lui Poincaré.” Şi dacă „ştiinţa a fost mereu opusă spiritualităţii, H. Poincaré  a reuşit să ne convingă că dimensiunea spirituală a ştiinţei nu este neglijabilă, că ea există şi este puternică, iar matematica este, în bună măsură, oglinda acestei spiritualităţi.”

Dr. Magda Stavinschi a vorbit despre Poincare şi românii, amintind că trei dintre primii patru români care şi-a luat doctoratul la Paris s-au consacrat astronomiei: Spiru Haret, Constantin Gogu şi Nicolae Coculescu. Spiru Haret, şi-a susţinut doctoratul cu teza „Sur l’invariabilite des grands axes des orbites planetaires”. Când Spiru Haret a fost ministrul educaţiei a înfiinţat, în 1908, Observatorul din Bucureşti, a cărui dezvoltare a fost influenţată de modelul francez.  Vom trece peste alte aspecte ale relaţiilor româno-franceze din acel timp, pentru a cita cuvintele pe care Spiru Haret le-a făcut în panegiricul prezentat la Academia Română: „Erudiţia lui ştiinţifică era aşa de întinsă şi puterea lui de pricepere atât de mare încât îşi alegea după voie subiectele sale de cercetare şi pretutindeni imprima cu aceiaşi putere semnele geniului său...În prima linie, marea sa scriere „Les methodes nouveles de la mecanique celest” transformă ştiinţa cu totul.”

 E.S. Philippe Ètienne, el însuşi matematician ca formaţie universitară, a făcut o caracterizare a personalităţii intelectuale şi morale a lui Poincaré, care „a demonstrat întotdeauna sentimentul datoriei, generozitate şi un dezinteres demne de toată admiraţia.” Dintre calităţile sale intelectuale au fost amintite puterea excepţională de concentrare, memoria ieşită din comun şi curiozitatea deosebită. „Henri Poincaré reprezintă ceea ce Franţa are mai curat, dezinteresat şi mai bun între genii, alăturând extraordinarei sale intuiţii, un ascuţit simţ al concretului... Nu se poate vorbi despre un astfel de om amintind doar de matematică. Strălucirea sa se datorează curiozităţii pentru toate ştiinţele, pentru fizică, dar şi pentru filosofie... Moartea lui Poincarè a venit prea devreme pentru lumea ştiinţei, dar a lăsat confraţilor, elevilor săi, dumneavoastră care sunteţi oameni de ştiinţă frumuseţea şi amploarea operei sale... Tradiţia lui Poincaré este şi tradiţia instituţiilor ştiinţifice - Şcoala Normală Superioară, Colege de France, CNST. Îmi permit să spun că şi astăzi şcoala franceză de matematică este la nivel internaţional. În acest context, îmi permit să spun că personal, în timpul pe care l-am petrecut în România am luat nişte iniţiative. De exemplu, şase tineri români, ajutaţi de mari întreprinderi franceze s-au integrat cu brio la Liceul Louis le Grand, cel mai bun liceu din Franţa din acest punct de vedere şi la Liceul Fermat din Toulouse.”

Cum peste puţină vreme Excelenţa Sa va părăsi România, Excelenţa Sa a ţinut să-şi exprime bucuria întâlnirii cu membrii Academiei Române, amintind ceremonia în care lui Jean Pierre Serre, laureat al premiului Abel, i s-au înmânat însemnele de membru de onoare al Academiei Române. A mai fost şi conferinţa „Aceşti Români care au făcut Franţa” susţinută de Excelenţa Sa, care „va rămâne ca unul dintre cele mai importante momente din atât de scurta misiune în România.” Au mai fost şi alte momente „de bucurie, de mândrie, de îmbogăţire intelectuală trăite în Academia Română” şi împreună vor fi tot atâtea amintiri de neuitat. Exprimându-şi tristeţea pentru această despărţire, acad. Eugen Simion, preşedintele Academiei Române, a apreciat nu doar faptul că E.S. Philippe Ètienne a fost un eminent ambasador al Franţei, dar, „chiar din primul moment, un prieten al Academiei Române...cu care ne-am înţeles chiar din prima clipă iar, după câteva săptămâni, am vorbit numai româneşte.” Mulţumind pentru modul prietenos în care au colaborat, acad. Eugen Simion şi-a exprimat speranţa că Excelenţa Sa va răspunde invitaţiilor făcute de Academia Română la dezbateri ce îl va interesa.

Vom încheia cu câteva rânduri ale lui Henri Poincaré: „Tot ceea ce nu este gândire este pur neant... istoria geologiei ne arată că viaţa este un scurt episod  între două morţi eterne şi, în acest episod, gândirea conştientă este o sclipire în mijlocul unei lungi nopţi... Dar această sclipire este totul.”